Browsing by Author "Gürler, Elif Özbay"

Now showing 1 - 1 of 1

Genus 2 Jacobiyenler için Jacobiyen koordinatlarda tam grup kanunu
(2023) Gürler, Elif Özbay; Hışıl, Hüseyin
Genus $g$ hipereliptik eğriler, $g \ge 1$ olmak üzere, $y^2 = f(x)$ denklemiyle tanımlanan cebirsel eğrilerdir. Burada $f(x)$, derecesi $2 g+1$ olan bir polinomdur. Hipereliptik eğriler, zengin geometrik yapıları, kriptografi ve kodlama teorisindeki uygulamaları nedeniyle büyük ilgi görmüştür. Özellikle genus~2 hipereliptik eğriler, güvenlik ve verimlilik arasında iyi bir denge sunması sebebiyle öne çıkmaktadır. Öte yandan Kummer yüzeyi, eğri tabanlı kriptosistemlerde hız lideridir ve bu da hipereliptik eğrilerin henüz tam olarak keşfedilmemiş potansiyelinin bir göstergesidir. Hipereliptik eğriler üzerinde afin koordinatlarda grup kanunu, bu tür eğrilerin performansı hakkında genel bir fikir vermektedir. Buna karşın, kriptografik uygulamalarda, ters alma işlemi içermeyen, projektif koordinatlar üzerinde tanımlanan formüller kullanılır. Jacobiyen koordinatlar, her ne kadar bölen toplama için gereken işlem sayısında belirgin bir azalma sağlasa da, yalnızca genel toplama ve dejenere bölen içeren toplama operasyonlarına uygulanmıştır. Bu çerçevede, nadir oluşan bazı özel durumlar göz ardı edilmiştir. Bu tezde, hem afin hem de Jacobiyen koordinatlar cinsinden genus~2 hipereliptik eğriler için açık grup kanunu formülleri ortaya konmuştur. Formüller; resultant, mod ve EBOB gibi polinom aritmetiği hesaplamaları içermemekte olup, salt açık cisim işlemleri içermektedir. Grup kanunu; geometrik, polinom aritmetiği ve bölen aritmetiği yoluyla açıklanmış, ve bu sayede, eğrinin yapısının bütünüyle anlaşılması için bir girişim yapılmıştır. Bu çalışma, kriptografik protokollerin gerçeklenmesi için doğrudan uygulamaya konulabilir bir çerçeve sunmaktadır.