Adi diferansiyel denklemlerin uygulamaları

Abstract

Bu tez birinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için analitik ve nümerik çözüm yöntemlerini içerir. Diferansiyel denklemler hakkında tarihsel bilgilerle başlayarak, diferansiyel denklemlerin temel kavramlarını tanıtır. Bu çalışmada analitik yöntemler adına değişkenlerine ayrılabilen, homojen, tam, doğrusal ve özel denklem tiplerinden bahsediyoruz. Öte yandan nümerik yöntem olarak, Euler, Geliştirilmiş Euler, İkinci Mertebeden Runge-Kutta ve Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemlerini çalışıyoruz. Yöntemleri tanıttıktan sonra uygulamaların matematiksel modellerini tanıtıyoruz. Modellemeleri geliştirdikten sonra birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin problemlerini sunuyoruz. Bu problemler mühendislik, kimya, fizik, ekonomi ve sosyoloji gibi çeşitli alanlardan seçilerek sınıflandırıldı. Mekanik problemlerden başlayıp ikinci olarak karışım problemlerini sunuyoruz. Isınma- soğuma problemlerini, finans problemleri takip ediyor. Son olarak büyüme ve çürüme problemlerini sunuyoruz. Her alanda üç problem çalışıyoruz ve problemleri analitik ve nümerik olarak çözüyoruz. Nümerik çözümler için nümerik yakınsamalar elde ediyoruz. Böylece verilen nümerik yöntemler arasından daha iyi yakınsayanını belirlemeye odaklanıyoruz. Yakınsama adım büyüklüğüyle ilişkili olduğundan, farklı adım büyüklükleriyle çalışıyoruz. Son olarak yakınsamaları kıyaslıyoruz.

This thesis includes the analytical and numerical methods for solving first order ordinary differential equations. Starting with historical information about differential equations, we present the concepts for differential equations. In this thesis, we study the types of seperable, homogeneous, exact, linear and some special equations as anaytical methods. On the other hand, we aim the numerial methods that are called Euler, Improved Euler, Second-Order Runge-Kutta and Fourth-Order Runge-Kutta Methods. After meeting the methods, we present the mathematical models for the applications of first-order ordinary differential equations. Developing the mathematical models, we introduce the problems for first-order ordinary differential equations. These problems classify in different kind of areas such as engineering, chemistry, physics, economics and sociology in order. We start with mechanical problems. Secondly mixture problems follow up after the mechanical problems. We present cooling and warming problems and later on financial problems. Finally we introduce growth and decay problems. We discuss three problems for each areas and these problems are solved both analytically and numerically. In numerical solutions, we get the approximations for each problem. Therefore we focus on choosing the better numerical approximations between the given numerical methods. Since the approximation depends on the step size, we deal with different step size. Finally, we compare the approximations.