Genus 2 Jacobiyenler için Jacobiyen koordinatlarda tam grup kanunu

Abstract

Genus $g$ hipereliptik eğriler, $g \ge 1$ olmak üzere, $y^2 = f(x)$ denklemiyle tanımlanan cebirsel eğrilerdir. Burada $f(x)$, derecesi $2 g+1$ olan bir polinomdur. Hipereliptik eğriler, zengin geometrik yapıları, kriptografi ve kodlama teorisindeki uygulamaları nedeniyle büyük ilgi görmüştür. Özellikle genus~2 hipereliptik eğriler, güvenlik ve verimlilik arasında iyi bir denge sunması sebebiyle öne çıkmaktadır. Öte yandan Kummer yüzeyi, eğri tabanlı kriptosistemlerde hız lideridir ve bu da hipereliptik eğrilerin henüz tam olarak keşfedilmemiş potansiyelinin bir göstergesidir. Hipereliptik eğriler üzerinde afin koordinatlarda grup kanunu, bu tür eğrilerin performansı hakkında genel bir fikir vermektedir. Buna karşın, kriptografik uygulamalarda, ters alma işlemi içermeyen, projektif koordinatlar üzerinde tanımlanan formüller kullanılır. Jacobiyen koordinatlar, her ne kadar bölen toplama için gereken işlem sayısında belirgin bir azalma sağlasa da, yalnızca genel toplama ve dejenere bölen içeren toplama operasyonlarına uygulanmıştır. Bu çerçevede, nadir oluşan bazı özel durumlar göz ardı edilmiştir. Bu tezde, hem afin hem de Jacobiyen koordinatlar cinsinden genus~2 hipereliptik eğriler için açık grup kanunu formülleri ortaya konmuştur. Formüller; resultant, mod ve EBOB gibi polinom aritmetiği hesaplamaları içermemekte olup, salt açık cisim işlemleri içermektedir. Grup kanunu; geometrik, polinom aritmetiği ve bölen aritmetiği yoluyla açıklanmış, ve bu sayede, eğrinin yapısının bütünüyle anlaşılması için bir girişim yapılmıştır. Bu çalışma, kriptografik protokollerin gerçeklenmesi için doğrudan uygulamaya konulabilir bir çerçeve sunmaktadır.

Hyperelliptic curves of genus~$g$ are algebraic curves with $g \ge 1$, defined by the equation $y^2 = f(x)$, where $f(x)$ is a polynomial of degree $2 g+1$. Hyperelliptic curves have received much attention due to their rich structure and applications in cryptography and coding theory. Genus~2 hyperelliptic curves are particularly appealing because they offer a good balance between security and efficiency in cryptographic protocols. On the other hand, the Kummer surface remains the speed leader in curve-based cryptosystems, indicating the unexplored potential of genus~2 hyperelliptic curves. While the group law in affine coordinates on hyperelliptic curves provides a general idea of the performance of such curves, inversion-free formulas in projective coordinates are mainly used in cryptographic applications. The Jacobian coordinates have shown a significant reduction in operation counts of divisor addition on genus~2 curves; however, the coordinates are only applied to the common case and the cases that include a degenerate divisor, which leaves out a number of rare cases. This thesis presents explicit, complete group law formulas for hyperelliptic curves of genus~2, both in affine and Jacobian coordinates. The formulas do not require using polynomial arithmetic operations such as resultant, mod, or gcd but only explicit field operations. The interpretation of the group law through geometry, polynomial arithmetic, and divisor arithmetic is also presented here, which provides an insight that offers a deeper understanding of the structure of the curve. This work provides a framework that can be put directly into practice for the efficient implementation of cryptographic protocols.